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Fase 3 — Cuestionarios

🇪🇸 Espejo legible de data/quizzes/phase-03-linear-algebra.yaml. Los ejemplos numéricos usan el grid de §A13 (verbos × formas) cuando aportan contexto.

Fuente de verdad: data/quizzes/phase-03-linear-algebra.yaml.

q-03-01 — ¿Por qué el rango de la SVD es la cantidad de σ no nulos?

  1. Porque U y V son ortogonales y las matrices ortogonales tienen rango n, así que rank(A) queda determinado solo por Σ; Σ tiene r pivotes no nulos, por tanto rango r.
  2. Porque el determinante es el producto de los valores singulares.
  3. Porque la traza es la suma de los valores singulares.
  4. Porque el rango siempre es igual a min(M, N) para cualquier SVD.
Respuesta **Opción 1.** La multiplicación ortogonal preserva el rango; rank(A) = rank(Σ) = cantidad de entradas diagonales no nulas.

q-03-02 — Normas y sus roles (selección múltiple)

  1. L2 de un vector = raíz cuadrada del producto interno consigo mismo.
  2. Frobenius de una matriz = raíz cuadrada de la suma de valores singulares al cuadrado.
  3. L1 de un vector promueve sparsity como regularización (esquinas en los ejes).
  4. Norma espectral de una matriz = mayor valor singular.
  5. Frobenius de una matriz = su mayor valor singular.
Respuesta **Opciones 1, 2, 3, 4.** La opción 5 confunde Frobenius (suma de σ²) con espectral (max σ).

q-03-03 — Normas de v = [3, -4, 12, 0] (libre)

Respuesta L1 = 3 + 4 + 12 + 0 = **19**. L2 = sqrt(9 + 16 + 144 + 0) = sqrt(169) = **13**. L∞ = max(3, 4, 12, 0) = **12**.

q-03-04 — Número de condición y estabilidad (libre)

Respuesta Resolver `A x = b` amplifica la perturbación relativa hasta en un factor κ(A): `||δx||/||x|| ≤ κ · ||δb||/||b||`. Una matriz con κ ≈ 10⁶ pierde efectivamente 6 dígitos de precisión en x comparado con b.

q-03-05 — Eckart-Young

  1. Los valores singulares son las entradas diagonales de una matriz de covarianza.
  2. Cada σ_i es la longitud L2 de la proyección de A sobre su i-ésima dirección singular; mayor σ significa que más "masa" de A vive ahí, así que descartar un σ pequeño pierde poca energía Frobenius.
  3. El mayor σ siempre es 1 por construcción.
  4. La SVD es única solo cuando los valores singulares son distintos.
Respuesta **Opción 2.** Frobenius = sqrt(Σ σ_i²); descartar el σ_i² más pequeño pierde la menor energía Frobenius.